torsdag 29 mars 2012

Rakt genom jordklotet

Idag skall jag tala om vad som händer den som borrar ett hål rakt ned genom jordens medelpunkt och ut på andra sidan, för att sedan kasta sig ned i hålet. Eftersom borrandet av ett sådant hål är ett orealistiskt projekt redan från början gör det inte så mycket om jag fyller på med lite extra förenklande antaganden: att vår planet är perfekt klotformad utan några berg eller andra knöligheter, att den är helt och hållet homogen, och att den saknar atmosfär.

Vad händer då du hoppar ned i hålet? Du kommer att falla nedåt, fortare och fortare, ned mot jordens medelpunkt. Där kommer du att fortsätta av bara farten, men i stället för fortsatt ökande fart kommer du att börja sakta in. Din fart räcker precis för att du skall orka upp till ytan på andra sidan, och väl framme börjar du genast falla tillbaka mot mitten och sedan upp mot den ursprungliga startpunkten. Och så vidare, i en evig pendelrörelse, fram och tillbaka (åtminstone så länge ingen rycker tag i skjortkragen på dig vid något av dina besök vid jordytan).

Hur lång tid tar då din färd från ena sidan av jorden till den andra? 42 minuter, visar det sig. Denna siffra kan man eventuellt förvånas över, men det riktigt fascinerande i sammanhanget är - som fysikern Sasha Vongehr påpekar på sin blogg alpha meme - att denna tidsåtgång är exakt densamma som åtgår för en satellit i cirkulär bana i höjd med jordytan att färdas från en punkt på jorden till den rakt motsatta. Om du skickar iväg ett föremål (t.ex. en pistolkula) horisontellt, med precis den hastighet som behövs för att inte tappa höjd utan stanna i satellitbana, samtidigt som du hoppar ned i hålet, så kommer du och föremålet fram till andra sidan jorden exakt samtidigt; Vongehr kallar detta för "the perfect physics instructor suicide".

Varför samanfaller tidsåtgången för dessa två helt olika sätt att färdas härifrån till vår antipod? Jag lämnar detta som en (i mitt tycke alldeles ljuvlig) övningsuppgift åt läsekretsen.1

Fotnot

1) För att knäcka denna gåta behöver man behärska Newtons gravitationslag, och kanske helst också känna till det som kallas shell theorem, men när man väl förstått hur det hänger ihop klarar man sig i princip helt utan matematiska beräkningar.

9 kommentarer:

  1. Man kan ju också tänka sig att borra hål mellan två punkter som inte är antipoder, vilket väl ger ett liknande fenomen. Förmodligen orealistiskt det också, men en inte riktigt lika uppenbart omöjlig idé för att anlägga snabbtunnelbanor över långa avstånd.

    SvaraRadera
  2. Ja, det var det jag tyckte mig minnas från någon matematik- eller fysikundervisning någonstans. Förutom att 42 förstås är svaret på den yttersta frågan om livet, universum och allting är det för övrigt också svaret på frågan om hur många gånger man måste vika ett papper för att nå månen. Är det ett sammanträffande, tro?

    SvaraRadera
  3. DN:s vetenskapsredaktör Maria Gunther Axelsson skriver idag om hur annorlunda det visar sig bli om man inför luftmotsånd i modellen.

    SvaraRadera
  4. man kan ju visa att jordens dragningskraft är störst vid jordytan och succesivt minskar om man "rör" sig mot des centrum, för att slutligen bli lika med noll i där. Dvs jordaccelerationen avtar ju från värdet g vid jordytan (och utanför denna. Dvs hur förklaras därvid dn pendelrörelse som artiel pläderar för ?

    SvaraRadera
    Svar
    1. Gravitationen är mycket riktigt noll i jordens centrum, och jag gissar att din fråga föranleds av en föreställning om att när gravitationen är noll så upphör rörelsen. Men den föreställningen är i så fall felaktig. Det är accelerationen - inte rörelsen - som upphör då gravitationen är noll. Rörelsen fortsätter av bara farten, om uttrycket tillåts.

      Radera
    2. Men jag undrar över att du skriver att fallhastigheten ökar hela tiden fram till centrum. Är det dock inte så att hastighetsökningstakten blir allt mindre(från initialt = g) när den "effektiva" dragningskraften blir successivt allt mindre under fallet? Jag tror inte att hastigheten måste bli lika med noll i centrum, men undrar HUR man vet att man kommer att fortsätta exakt ända upp till ytan på "andra sidan"? Jag missar nog något väsentligt, men tacksam för en förklaring.

      Radera
    3. Hela vägen ned till centrum verkar gravitationen nedåt, dvs i rörelsens riktning, vilket gör att man accelererar, dvs rör sig allt fortare (även om, som du mycket riktigt påpekar, accelerationen blir allt mindre). Efter passagen av centrum verkar gravitationen i motsatt riktining mot färdriktningen och man börjar därför bromsa in.

      Att man når exakt till ytan på andra sidan går att härleda med hjälp av den differentialekvation som ges av det gravitationella kraftfältet. Enkast kan dock slutsatsen dras med hänvisning till lagen om energikonservering; då behövs ingen beräkning. Allt detta kräver dock en del förkunskaper i fysik.

      Radera
    4. Arne Söderqvist18 april 2017 21:36

      Låt oss anta att jordaxeln är ihålig och att jordklotet är sfäriskt och homogent.

      Om man då släpper ett föremål som får falla fritt, alltså utan friktion och luftmotstånd, genom jordaxeln, kommer det att utföra en harmonisk svängningsrörelse. Den gravitationskraft som föremålet utsätts för på ett visst avstånd, r, från jordens centrum härrör endast från den massa hos jordklotet som ligger innanför en sfär med radien r och med centrum i jordklotets mitt. Jordklotets massa utanför denna sfär påverkar inte föremålet alls med någon gravitationskraft. Detta kan förefalla konstigt, men det brukar man visa i grundläggande mekanikkurser vid universitet och högskolor.

      Skulle en satellit kretsa kring jordklotet alldeles intill jordytan skulle dess omloppstid bli densamma som det släppta föremålets svängningstid.

      Radera